MatheGruppen

Also es gibt Gruppen, Ringe und Körper in der Mathematik. Das womit man normalerweise so rechnet ist der Körper über R, denn "normalen Zahlen" (incl Pi und Wurzel 2 und so), zusammen mit dem + und * was wir so kennen.

Aber wir fangen erstmal klein an. Eine Gruppe ist eigentlich was ganz simples:

Definition: Gruppe im mathmatischen Sinne

Eine Gruppe besteht aus einer Menge zusammen mit einer Verknüpfung die je zwei Elementen aus der Menge wieder einem Element aus der Menge zuordnet.

Nennen wir die Menge G und führen das Symbol "+" für die Verküpfung ein und schreiben die Gruppe dann als (G, +)

(G1) Assoziativität: Die Verknüfung + ist assoziativ:
Für alle g, h, k aus G gilt: (g+h)+k = g+(h+k)

(G2) Existenz eines neutralem Elementes: Es gibt ein Element aus G, das wir e nennen, für das gilt:
Für alle g aus G gilt: e+g=g

(G3) Existenz inverser Elemente: Für jedes g aus G gibt es ein Element aus G, das wir g^-1 nennen, für das gilt: g^-1 + g = e
wobei e das in (G2) geforderte neutrale Element ist.

Wenn zusätzlich das viertes Axiom (G4) gilt, nennt man die Gruppe kommutativ oder abelsch
(G4) Kommutativität:: Für je zwei Elemente g, h aus G gilt:
g+h = h+g

Bemerkungen

Das Symbol "+" hat zunächst mal nichts mit dem aus der Grundschule bekannten Addier-Symbol zu tuen. Allerdings macht es in vielen Situationen Sinn bei der Verknüpfung von einer addition zu reden. In solchen Situationen empfiehlt es sich auch das neutrale Element mit dem Symbol 0 zu bezeichnen und das zu g inverse Element mit -g.

Analog ist die uns bekannte 1 das neutrale Element einer Gruppe die sich auf die aus der Grundschule bekannte Multiplikation bezieht. Die schreibweise g^-1 kann man hier auch sinnvoll ersetzten durch 1/g.

Wie man leicht zeigen kann ist das neutrale Element immer eindeutig festgelegt und zu jedem g aus G existier genau ein g^-1.

Beispiele

Wie man leicht zeigen kann gilt:

R, also denn "normalen Zahlen" (incl Pi und Wurzel 2 und so), ohne die uns bekannte 0 ist bezüglich der normalen Multiplikation eine Gruppe.

Auch Q ("Bruchzahlen") ohne 0 bzgl. der normalen Multiplikation ist eine Gruppe.

Ausserdem ist Z (die "ganzen Zahlen") zusammen mit der normalen, aus der Grundschule bekannten, addition eine Gruppe. Gleiches gilt z.B. für die Menge aller gerade Zahlen oder die Menge aller Zahlen die durch 3 teilbar sind. Allgemein: Für jedes d aus Z gilt: (dZ, +) ist eine Gruppe.

(Z, *), wobei * die aus der Grundschule bekantne Multiplikation sein soll, ist KEINE Gruppe, nicht einmal (Z ohne 0, *) ist eine Gruppe. (Z_n, +) ist eine Gruppe, während (Z_n ohne 0, *) nur eine Gruppe ist, falls n eine Primzahl ist; Wobei Z_n definiert ist durch: Z_n ist die Menge der ganzen Zahlen 0, 1, .., n-1. Für n=7 oder 13 spricht man im Volksmund vom Hexen-Ein-mal-Eins.

Das Hexen-Ein-mal-Eins

Zunächst wollen wir und mal die Menge Z₂ zusammen mit einer verknüfung (wir nehmen wieder das Symbol +) anschauen:

Z₂ ist ja, wie bereits weiter oben definiert, die Menge der Zahlen 0 und 1. Wir stellen eine Verknüpfungstabelle auf:

+	0	1
0	0	1
1	1	0

Also:
0+0 = 0
0+1 = 1
1+0 = 1
1+1 = 0

Wie man leicht nachprüfen kann das also eine Gruppe (sogar eine abelsche Gruppe).

So. Das war noch recht überschaubar. Nun zu (Z₇, +):

+	0	1	2	3	4	5	6
0	0	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	4	5	6	0
2	2	3	4	5	6	0	1
3	3	4	5	6	0	1	2
4	4	5	6	0	1	2	3
5	5	6	0	1	2	3	4
6	6	0	1	2	3	4	5

Wie man sieht ist bei 3+2=5 und 3+3=6 alles noch ganz "normal". "Komisch" wird's erst bei 3+4=0 oder 3+5=1. Hier muss man quasi einfach die normale addition durchführen und dann vom Ergebniss so oft die 7 abziehen, bis das Endergebniss zwischen 0 und 6 liegt...

Und (Z₇ ohne 0, *), das eigentliche Hexen-Ein-mal-Eins:

*	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	4	5	6
2	2	4	6	1	3	5
3	3	6	2	5	1	4
4	4	1	5	2	6	3
5	5	3	1	6	4	2
6	6	5	4	3	2	1

Übung: Stelle die Verknüpfungstabelle für (Z_n, +) und (Z_n ohne 0, *) mit n = 5, 13, 17 oder 23 auf!

Übung: Was spricht dagegen (Z₄ ohne 0, *) ein Gruppe zu nennen?

Talk

Jemand fragte: Wozu braucht man gruppen? bzw. warum ist es wichtig, sie zu definieren?
Antwort: solche fragen darf man mathematikern nich stellen!!! ;) Bei Mathe macht man oft erstmal irgendwelche komischen sachen die auf den ersten blick nur kompliziert aussehen und man keinen nutzen dierekt erkennen kann. Aber gruppen sind schon ein sehr wichtiges grund-Konstrukt unserer heutigen mathematik! Zum Beispiel schaffen sie sozusagen die "Grundlagen", das man später Körper definieren kann. Wie eingangs erwähnt ist der Körper über R zusammen mit dem "normalem" + und * das womit wir jeden Tag rechnen. Ausserdem sind Ringe und Gruppen z.B. in der verschlüsselungstechnick (zB RSA) von enormer Bedeutung. --Took 17:03, 21 February 2006 (CET)