MatheGruppen

Eine Erläuterung der verwendeten Symbole findet sich hier: MathSymbole

In der Mathematik gibt es diverse algebraische Strukturen, zum Beispeil Gruppen, Ringe und Koerper. Die reellen Zahlen ($$\Bbb{R}$$, incl. Pi und Wurzel 2), mit denen wir normalerweise rechnen, bilden mit den Operatoren $$+$$ und $$\cdot$$ einen Koerper.

Aber wir fangen erstmal klein an. Eine Gruppe ist eigentlich was ganz Simples.

= Definition: Gruppe im mathematischen Sinne = Eine Gruppe besteht aus einer Menge zusammen mit einer Verknüpfung, die je zwei Elementen aus der Menge wieder einem Element aus der Menge zuordnet.

Nennen wir die Menge G und führen das Symbol "$$\circ$$" für die Verküpfung ein und schreiben die Gruppe dann als $$(G, \circ)$$

(G1) Assoziativität: Die Verknüfung $$\circ$$ ist assoziativ: $$\forall g, h, k \in G$$: $$(g\circ h)\circ k = g\circ (h\circ k)$$

(G2) Existenz eines neutralem Elementes: Es gibt ein Element aus $$e \in G$$, für das gilt: $$\forall \quad g \in G$$ gilt: $$e\circ g = g$$

(G3) Existenz inverser Elemente: $$\forall g \in G \exist g' \in G$$, das wir $$g^{-1}$$ nennen, für das gilt: $$g^{-1} \circ g = e$$ wobei $$e$$ das in (G2) geforderte neutrale Element ist.

Wenn zusätzlich das viertes Axiom (G4) gilt, nennt man die Gruppe kommutativ oder abelsch (G4) Kommutativität:: Für je zwei Elemente $$g, h \in G $$ $$g\circ h = h\circ g$$

Bemerkungen
Das Symbol "$$\circ$$" hat zunächst mal nichts mit dem aus der Grundschule bekannten Additionssymbol zu tun (edit: Um das noch klarer zu machen, wurde das hier im Wiki-Text ursprünglich benutzte Symbol "$$+$$" nun durch "$$\circ$$" ersetzt!). Allerdings macht es in vielen Situationen Sinn, bei der Verknüpfung von einer Addition zu reden. In solchen Situationen empfiehlt es sich auch, das neutrale Element mit dem Symbol $$0$$ zu bezeichnen und das zu $$g$$ inverse Element mit $$-g$$.

Analog ist die uns bekannte $$1$$ das neutrale Element einer Gruppe, die sich auf die aus der Grundschule bekannte Multiplikation bezieht. Die Schreibweise $$g^{-1}$$ kann man dann auch sinnvoll ersetzten durch $$\frac{1}{g}$$.

Eindeutigkeit inverser Elemnte und des neutralen Elements
Wie man leicht zeigen kann, ist das neutrale Element immer eindeutig festgelegt und zu jedem g aus G existiert genau ein $$g^{-1}$$.

= Beispiele = Wie man leicht zeigen kann gilt:

$$R$$, also den "normalen Zahlen" (incl Pi ($$\pi$$) und $$\sqrt{2}$$ und so), ohne die uns bekannte $$0$$ ist bezüglich der normalen Multiplikation eine Gruppe.

Auch $$\Bbb{Q}$$ ("Bruchzahlen") ohne $$0$$ bzgl. der normalen Multiplikation ist eine Gruppe.

Ausserdem ist $$\Bbb{Z}$$ (die "ganzen Zahlen") zusammen mit der normalen, aus der Grundschule bekannten, Addition eine Gruppe. Gleiches gilt z.B. für die Menge aller gerade Zahlen oder die Menge aller Zahlen, die durch 3 teilbar sind. Allgemein: Für jedes $$d$$ aus $$\Bbb{Z}$$ gilt: $$(d\Bbb{Z}, +)$$ ist eine Gruppe.

$$(\Bbb{Z}, \cdot)$$, wobei $$\cdot$$ die aus der Grundschule bekannte Multiplikation sein soll, ist KEINE Gruppe, nicht einmal $$(\Bbb{Z}\backslash\{0\}, \cdot)$$ ist eine Gruppe. $$(\Bbb{Z}_n, +)$$ ist eine Gruppe, während $$(\Bbb{Z}_n \backslash \{0\}, \cdot)$$ nur eine Gruppe ist, falls $$n$$ eine Primzahl ist; wobei $$\Bbb{Z}_n$$ definiert ist durch: $$\Bbb{Z}_n$$ ist die Menge der ganzen Zahlen $$0, 1, .., n-1$$. (Siehe Restklassenkoerper) Für $$n=7$$ oder $$13$$ spricht man im Volksmund vom Hexen-Ein-mal-Eins.

Das Hexen-Ein-mal-Eins
Zunächst wollen wir mal die Menge Z2 zusammen mit einer Verknüfung (wir nehmen wieder das Symbol #) anschauen:

Z2 ist ja, wie bereits weiter oben definiert, die Menge der Zahlen 0 und 1. Wir stellen eine Verknüpfungstabelle auf:

Also: 0#0 = 0 0#1 = 1 1#0 = 1 1#1 = 0

Wie man leicht nachprüfen kann, ist das also eine Gruppe (sogar eine abelsche Gruppe).

So. Das war noch recht überschaubar. Nun zu (Z7, +):

Wie man sieht, ist bei 3+2=5 und 3+3=6 alles noch ganz "normal". "Komisch" wird's erst bei 3+4=0 oder 3+5=1. Hier muss man quasi einfach die normale Addition durchführen und dann vom Ergebniss so oft die 7 abziehen, bis das Endergebniss zwischen 0 und 6 liegt(weil ja Z7 eben nur diese Zahlen enthält)...

link zum Thema "Modulo-Opperator" ? Hat jemand so einen? Der passt hier hin...

Und (Z7 ohne 0, *), das eigentliche Hexen-Ein-mal-Eins:

Übung: Stelle die Verknüpfungstabelle für (Zn, +) und (Zn ohne 0, *) mit n = 5, 13, 17 oder 23 auf!

Übung: Was spricht dagegen, (Z4 ohne 0, *) ein Gruppe zu nennen?

= Talk = Jemand fragte: Wozu braucht man Gruppen bzw. warum ist es wichtig, sie zu definieren? Antwort: solche Fragen darf man Mathematikern nich stellen!!! ;) Bei Mathe macht man oft erstmal irgendwelche komischen Sachen, die auf den ersten Blick nur kompliziert aussehen und man keinen Nutzen direkt erkennen kann. Aber Gruppen sind schon ein sehr wichtiges Grund-Konstrukt unserer heutigen Mathematik! Zum Beispiel schaffen sie sozusagen die "Grundlagen", das man später Körper definieren kann. Wie eingangs erwähnt, ist der Körper über R zusammen mit dem "normalem" + und * das, womit wir jeden Tag rechnen. Ausserdem sind Ringe und Gruppen z.B. in der Verschlüsselungstechnik (z.B. RSA) von enormer Bedeutung. --Took 17:03, 21 February 2006 (CET)

Hat jemand Fragen? Möchte jemand einen Beweis zu einem der mit "Wie man leicht nachprüfen kann..." eingeleiteten Sätze haben? Der Prof würde auf jeden Fall diesen wichtigen Satz (eigentlich sind es zwei Sätze) beweisen: "Wie man leicht zeigen kann, ist das neutrale Element immer eindeutig festgelegt und zu jedem g aus G existiert genau ein g-1.". Spannender wäre wohl sowas wie "Nicht einmal (Z ohne 0, *) ist eine Gruppe.". Da hat man was auch vom Beweis. Ist einfacher zu verstehn und erklärt wie man mit der Sache umgeht. - Aber das dauert auch so seine Zeit bis man das hier ordentlich reingetippt hat... also tip' ich das nur, wenn das auch jemand sehen möchte... welchen wollt ihr sehn? --Took 02:16, 23 February 2006 (CET)

=links=
 * http://s-inf.de/Skripte/LA1.2000-WS-Plesken.(SH).Algebraische_Strukturen.pdf